线性代数¶

矩阵分解¶

矩阵分解是将一个矩阵分解为数个矩阵的乘积，是线性代数中的一个核心概念。

下面的表格总结了在 Julia 中实现的几种矩阵分解方式。具体的函数可以参考标准库文档的 Linear Algebra 章节。

`Cholesky`	Cholesky 分解
`CholeskyPivoted`	主元 Cholesky 分解
`LU`	LU 分解
`LUTridiagonal`	LU factorization for Tridiagonal matrices
`UmfpackLU`	LU factorization for sparse matrices (computed by UMFPack)
`QR`	QR factorization
`QRCompactWY`	Compact WY form of the QR factorization
`QRPivoted`	主元 QR 分解
`Hessenberg`	Hessenberg 分解
`Eigen`	特征分解
`SVD`	奇异值分解
`GeneralizedSVD`	广义奇异值分解

特殊矩阵¶

线性代数中经常碰到带有对称性结构的特殊矩阵，这些矩阵经常和矩阵分解联系到一起。 Julia 内置了非常丰富的特殊矩阵类型，可以快速地对特殊矩阵进行特定的操作.

下面的表格总结了 Julia 中特殊的矩阵类型，其中也包含了 LAPACK 中的一些已经优化过的运算。

`Hermitian`	埃尔米特矩阵
`Triangular`	上/下三角矩阵
`Tridiagonal`	三对角矩阵
`SymTridiagonal`	对称三对角矩
`Bidiagonal`	上/下双对角矩阵
`Diagonal`	对角矩阵
`UniformScaling`	缩放矩阵

基本运算¶

矩阵类型	`+`	`-`	`*`	`\`	其它已优化的函数
`Hermitian`				XY	`inv`, `sqrtm`, `expm`
`Triangular`			XY	XY	`inv`, `det`
`SymTridiagonal`	X	X	XZ	XY	`eigmax/min`
`Tridiagonal`	X	X	XZ	XY
`Bidiagonal`	X	X	XZ	XY
`Diagnoal`	X	X	XY	XY	`inv`, `det`, `logdet`, `/`
`UniformScaling`	X	X	XYZ	XYZ	`/`

图例：

X	已对矩阵-矩阵运算优化
Y	已对矩阵-向量运算优化
Z	已对矩阵-标量运算优化

矩阵分解¶

矩阵类型	LAPACK	`eig`	`eigvals`	`eigvecs`	`svd`	`svdvals`
`Hermitian`	HE		ABC
`Triangular`	TR
`SymTridiagonal`	ST	A	ABC	AD
`Tridiagonal`	GT
`Bidiagonal`	BD				A	A
`Diagonal`	DI		A

图例：

A	已对寻找特征值和/或特征向量优化	例如 `eigvals(M)`
B	已对寻找 `il`^th 到 `ih`^th 特征值优化	`eigvals(M, il, ih`)
C	已对寻找在 [`vl`, `vh`] 之间的特征值优化	`eigvals(M, vl, vh)`
D	已对寻找特征值 `x=[x1, x2,...]` 所对应的特征向量优化	`eigvecs(M, x)`

缩放运算¶

A UniformScaling operator represents a scalar times the identity operator, λ*I. The identity operator I is defined as a constant and is an instance of UniformScaling. The size of these operators are generic and match the other matrix in the binary operations +,``-,``* and \. For A+I and A-I this means that A must be square. Multiplication with the identity operator I is a noop (except for checking that the scaling factor is one) and therefore almost without overhead.